Тире не требуется.
Для точного ответа нужно знать все предложение. Скорее всего, будет верен вариант из ремфонда, например: Взять из ремфонда.
Это канцелярское выражение, однако оно корректно.
Верно: требующих ремонта.
Грамматически возможны оба варианта (зависит от того, с каким из слов существительное проверка образует сочетание: проведение проверки или допускается к проверке).
С точки зрения стилистики лучше избегать нанизывания родительных падежей: Допускается к ремонту и проверке взрывозащищенного электрооборудования.
Запятые не нужны.
Грамматически корректно: цеха (какого?) выполняющего...
Правильно: касающимися.