Лучше: прошу предоставить отгул.
Перед частицей так, стоящей между повторяющимися словами, запятая не ставится.
Да, сочетание избыточное.
Правильно: ФК «Реал» (Мадрид).
Насколько нам известно, ни то, ни другое выражение в юридических документах не используется. Существуют термины вынужденный прогул и принудительный отпуск.
Возможны оба варианта, пунктуация зависит от интонации. Выбор за автором текста.
Приинфинитивная часть составного глагольного сказуемого в данном случае выражает модальное значение (отношение субъекта к действию).
См.: http://new.gramota.ru//biblio/readingroom/textbooks/author/litnevskaya/part5#312