Правильно с прописной (большой) буквы.
Нет, названия районов в кавычки не заключаются: район Бескудниково.
Название района: Нагатинский Затон.
Правильно: район Нагатинский Затон. Но: Нагатинский затон – о самом затоне.
Корректно: был переведен в ключевой район.
Правильно: резанный на куски батон.