Следует писать с большой буквы: Анапский район.
Корректно дефисное написание, так как прилагательное образовано от названия населенного пункта, включающего имя и фамилию (Бободжан Гафуров). Ср.: Лев-Толстовский район (от названия поселка Лев Толстой). См. также правило (пункт 3).
Рекомендуем такой вариант: передало в собственность Аургазинского муниципального района Республики Башкортостан.
В сочетании с родовым словом район название Черемушки не склоняется. Верно: в районе Черемушки, из района Черемушки.
Поскольку оба названия имеют в дательном падеже одну и ту же форму, определить затруднительно.
См. в «Письмовнике».
Правильно с прописной (большой) буквы.
Мы с Вами консультировались у разных специалистов новосибирского Академгородка, и противоречия в орфографических рекомендациях, судя по Вашему комментарию, нет. Слово район имеет не только значение 'единица административно-территориального деления внутри автономных республик, краёв, областей, автономных округов, крупных городов', но и 'местность, определяемая какими-либо географическими, экономическими, социальными и т. п. признаками'.
Нет, названия районов в кавычки не заключаются: район Бескудниково.
