Правильно: мучиться (неопределенная форма); мучится и допустимо в разговорной речи мучается (форма 3-го лица ед. числа).
Верно: учиться этой специальности, обучаться по специальности, приобретать специальность.
Здесь правильно раздельно: и так.
Правильно: В 1811 году Пушкин уехал из Москвы, чтобы поступить в Царскосельский императорский лицей.
Это, действительно, лишнее слово.
Нет, это корректное сочетание.
Тире не обязательно, но возможно.
Если учиться — подлежащее, а стремление абсурдное — сказуемое, то тире нужно.