Корректно: в Пустоше (ср. каша, в каше), в Пустошах (ср. в Мытищах).
Нет, неверно. Можно сказать извлечь содержимое.
Название без родового слова пустошь, по всей видимости, должно склоняться (посреди Коммона), но лучше не убирать родовое слово. Этот географический объект мало известен, и поясняющее слово необходимо, чтобы понять, о чём говорится: посреди пустоши Коммон.
Да, это корректное сочетание (несмотря на формальную избыточность).
В толковых словарях русского языка слово пустить в таком значении не зафиксировано, поэтому приведенное Вами сочетание некорректно.
Частица пусть не требует постановки знаков препинания.
Переливать из пустого в порожнее - заниматься никчемным делом, пустой болтовней и т. п.
Пусть картина повисит (побудет) здесь.
Такое употребление возможно лишь в разговорной речи.
