В роли сказуемого следует (предпочтительно) использовать краткое прилагательное: Корзина пуста.
Правильно: Численность коров составила пятьдесят одну голову.
Это устойчивое выражение, поэтому употребляется форма ед. ч. даже по отношению к нескольким лицам: Не сносить тогда вам головы.
Возможны оба варианта (с учетом контекстных различий).
Корректно: политологи ломают голову.
По-русски говорят: болит голова, кружится голова. (Кстати, утверждают, что собственно мозг болеть не может, т. к. в мозгу нет болевых окончаний.)
Корректно: кружить голову кому-либо.
Правильно: глава городской администрации и (устарелое) городской голова. Интересно, что должность городского головы сохраняется сегодня в Калуге.
Корректно: наполовину пустая, наполненная до половины.