Нет, это не вводное слово. В приведенном Вами примере прямо – частица. Обособление не требуется.
Здесь прямо – частица.
Запятую следует поставить.
Выбор предлога зависит от смысла: если, выходя из лифта, человек попадает на площадку, откуда нужно войти в квартиру, то верно: доставит... прямо к квартире. Если лифт персональный и поднимается в квартиру, то верно: доставит... прямо в квартиру.
Слова лучше сказать можно считать сказуемым (главным членом односоставного предложения).