Верно: прогулка по шикарным улицам.
Корень: подушк-, окончание: -а.
Да, это однокоренные слова.
Сделанный из частей растения гречихи - гречишный, приготовленный из зёрен гречихи или продуктов их обработки - гречневый.
Оба варианта возможны.
Верно: по Москве-реке.