По-ну-ка-ни-е.
См. в учебнике Е. И. Литневской.
Орфографически и грамматически корректно: факт непроживания. Обратите внимание: приведенный Вами оборот — канцелярский.
Указанная запятая не требуется, так как в этом предложении нет повторяющего союза, а есть союз не только... но и и союз и.
Правильно: на въезд в город и проживание в нем (в городе).
Корректное прочтение фразы: проживание более чем в восьми тысячах пятистах отелях (с существительным отель сочетается количественное числительное пятьсот — последняя часть составного числительного). То же и с цифровой записью: проживание более чем в 8500 отелях.
Множественное число слова лжеучитель: лжеучители. В остальном предложение составлено корректно.
Пунктуация верна. Однако построено предложение небезупречно.