Вы правы, сочетание неудачное.
Это главный член односоставного (назывного, номинативного) предложения.
Запятая нужна: Не знаю, куда податься.
Форма такая есть, употребление зависит от контекста.
Трудно представить наглядно такую ситуацию. За секунду автомобиль преодолевает какое-то расстояние, не так ли? Какое расстояние?
Ошибки нет, фраза корректна.
Предложение корректно.