Это главный член односоставного (назывного, номинативного) предложения.
Оба варианта возможны, предпочтительно двоеточие (можно перед двоеточием поставить слова "а именно").
Правильно: придется.
Правильно: придется.
Запятая нужна: Не знаю, куда податься.
Кавычки не требуются. Слово пробиться в значении "после долгих усилий достичь хорошего общественного положения" зафиксировано в словарях.
Верно: придется.