Правильно: к обеим ногам.
Оба варианта возможны.
В смысле "преклонить колени"? Слово прИломить в этом значении не используется.
Вы правы: корректно выражение приносить извинения кому-либо.
Корректно: приложить усилия к чему-либо (к исследованию).