Мы согласны с Вами: сочетание погода потеплеет корректным признать нельзя. Правильно: когда потеплеет.
Предложение вполне корректно.
Верная пунктуация: «А сегодня совсем потеплело и весна!.. Распахни окно! А давай, — говорит несмело, — сходим вместе с тобой в кино?!.»
(Запятая перед и весна не ставится, так как у частей сложного предложения есть общий второстепенный член сегодня.)