Обращение дети надо выделить запятыми: Ваш папочка, дети, козел.
Возможно склонение мужской фамилии Попок с выпадением гласного (Попка, Попку) и без выпадения гласного (Попока, Попоку). Второй вариант предпочтителен, но окончательное решение, какой тип склонения избрать, остается за носителем фамилии.
Возможные формы родительного падежа: Попока и Попка (нужно уточнить это у носителя фамилии).
Оба варианта правильны.
Правильно: самодвижущаяся повозка.
Да, такое сочетание возможно.