Правильно: помериться силой и силами.
Правильно: помериться силой и силами.
Если глагол отвечает на вопросы что делать? и что делать?, мягкий знак пишется. Если на другой вопрос -- не пишется. Правильно: что сделать? -- показаться.
См. в учебнике С. Г. Бархударова «Правила русской орфографии и пунктуации» на портале.