Корректор неправ. Верно: одним миром мазаны. Так говорят о людях с одинаковыми недостатками: один не лучше другого. Выражение образовано от словосочетания мазать миром и восходит к церковным обрядам помазания. В выражении употребляется не слово мир  (и не слово мирра 'ароматическая смола'), а слово миро – специально приготовляемое благовонное масло, которым священники смачивают лбы верующих, чтобы благословить их и выделить среди других. Первоначальное значение оборота – 'одной веры'. Слово миро 'благовонное масло' пишется с одной буквой р.

Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».

Об императоре: помазанник Божий. О Мессии (Христе): Помазанник Божий.

Правильно: по прохождению (чего?) подготовки.

Верно: оказание услуг по проведению диагностики видеокамер и оказание услуг по диагностике видеокамер.

Правильно: попадание. Слова попадение нет в русском языке.

В случае если – составной подчинительный союз. Запятая ставится только при интонационном распадении союза на две части. Как правило, запятая не ставится, если союз в случае если начинает собой предложение.

См. ответ 259660.