Со словом "центр" используется предлог В: поставка в РЦ (центр).
Тире поставить можно.
В других падежах используется форма полставки: устроиться на полставки, отказаться от полставки.
Общего правила нет. Существительные, обозначающие род деятельности, чаще употребляются в форме ед. ч.
Правильно: работает на полставке.
В этом сложноподчиненном предложении главная часть находится внутри придаточной (а кроме того, в придаточной части специфический порядок слов), сравним обычную последовательность: Сам сейчас поймёшь, на что пал выбор. В подобных случаях запятая обычно ставится только после главной части: Выбор пал сам сейчас поймёшь, на что. Однако, как отмечается в пункте 2 раздела 21 справочника Д. Э. Розенталя по пунктуации, устойчивого правила здесь нет; в практике письма встречается и выделение главной части с обеих сторон типа: Выбор пал, сам сейчас поймёшь, на что.