Первое слово общеупотребительно, второе слово используется в профессиональной речи.
Оба способа оформления корректны.
Оба варианта верны.
Шпаклевать, шпаклевка – общеупотребительные слова, а шпатлевать, шпатлевка – профессиональные. Разницы в значении нет.
Написание слов проще всего проверять по словарям.