Корректно: в городе Павловском Посаде. См. «Письмовник».
Правильно: по Сергиеву Посаду.
Оба словосочетания употребительны.
Корректно: посуда вок, сковорода вок.
Орфографически верно: Троице-Сергиева лавра. Официально: Свято-Троицкая Сергиева лавра.