Двойные скобки избегаются, лучше использовать скобки разного рисунка: (...[...]).
Правильно: согласно договору подряда. Склоняется только слово договор. Слово подряд зависит только от слова договор: договор подряда.
Верно только: порвал договор подряда. Первый вариант непонятен.
Ника, при передаче греческого произношения - Нике.
Правильно: с окончанием срока действия договоров подряда (у договоров подряда один и тот же срок действия) и с окончанием сроков действия договоров подряда (сроки действия договоров разные).
Корректное написание: врач – анестезиолог-реаниматолог.
В «Морфемно-орфографическом словаре русского языка» А. Н. Тихонова (М., 1996) в слове родник корень -род- не выделяется, корнем считается все слово. Однако этимологически слова род, родить, родник связаны. Существительное родник исторически образовалось от родный 'рождающий'. Родник мыслился как источник, рождающий реку.
Запятая не ставится.