Можно сказать, что это суффиксальное образование от "подпереть".

Хотя интересующие Вас глаголы и синонимичны в значениях "оказаться под воздействием, влиянием кого-, чего-л., в зависимости от кого-, чего-л." (подпасть) и "испытать воздействие, влияние каких-л. обстоятельств, обнаружить себя в каком-л. положении (обычно неблагоприятном, неприятном, опасном)" (попасть), возможность их употребления  ограничена лексической сочетаемостью. Корректно: попасть под дождь, подпасть под обаяние, подпасть под санкции. 

Возможны оба варианта. В первом случае имеется в виду еда вообще, во втором — какая-то конкретная еда.

Правильно: Что подгорело?

Корень -де-.

Если далее следует пояснение, что именно сделали, чтобы подогреть интерес, верно: Ну и, чтобы подогреть интерес,..

Запятая нужна: Не знаешь, что подарить?

Возможны оба варианта. Подогреть можно недостаточно горячее блюдо, разогреть - холодное блюдо.