Правильно: Что подгорело?
Двоеточие не нужно.
Можно сказать, что это суффиксальное образование от "подпереть".
Верно: Гостями культурных пятниц будут становиться художники, писатели, музыканты, философы и все те, кому есть что рассказать и с кем есть о чем поспорить.