Подклад – разговорное слово. Общеупотребительно и стилистически нейтрально: подкладка.
Названия кафедр (как и факультетов) пишутся со строчной буквы: кафедра прикладной математики.
Согласно «Большому толковому словарю русского языка» под редакцией С. А. Кузнецова: пихора – детское пальто с теплой подкладкой и капюшоном (обычно отстегивающимся).