Правильно: подписать договОры.
Запятая нужна.
По основному правилу между частями этого сложного бессоюзного предложения следует поставить двоеточие. На практике вместо него часто пишут тире, это не считается ошибкой.
Предложение построено правильно.
В значении "ухаживать" – подбивать клинья.
Варианты двухребордный и двуребордный пока что не получили словарной фиксации. Теоретически возможны оба варианта, нужно выбрать более частотный и уважаемый соответствующими специалистами.
Правильно: подписать (несколько, ряд, папку) счетов-фактур.
Правильный второй вариант.