Верно: пойти в бассейн. В разговорной речи в значении "начать заниматься в бассейне" - пойти на бассейн.
Это так называемое фонетическое написание, т. е. соответствующее реальному произношению слов.
Оба варианта отвечают литературной норме.
Повытий – форма родительного падежа мн. числа от повытье. Так в старину называли подразделение государственного учреждения.