Корректно: повышать в должности.
Можно предоставить дополнительную возможность, можно увеличить шансы.
Корректно: свой профессиональный и технический уровень.
Орфографическими словарями не предусмотрено написание слова лицей с прописной буквы в значении 'Царскосельский лицей', поэтому корректно написание со строчной.