Лучше написать: побыть в одиночестве, уединиться.

Наречие наедине может быть употреблено без поясняющих слов, но более широкий контекст все равно покажет, что речь, например, идет о двух (как минимум) персонах; ср.: их разговор наедине; они долго молчали, оставшись наедине. У этого наречия основная смысловая задача — отметить чье-либо единение и уединение. Поэтому обычно и подразумеваются, и упоминаются два (или более) «участника» описываемой ситуации. Если используется фраза мне нужно побыть наедине, то очевидно, что слушателю или читателю понадобятся пояснения: что значит — наедине? с кем наедине?

Верно: решил остаться один; решил побыть одному; оставьте меня одного.

Побывать = посетить (побывать за рубежом). Побыть = быть некоторое время (побыть ответственным).

Нет, при этом всегда пишется раздельно.