Формы мн. ч. именительного падежа инспекторы и инспектора равноправны.
Трудно судить о корректности фразы, не зная ее смысла. Пожалуйста, поясните значение.
Варианты первый раз и в первый раз равноправны. Но именно в данном сочетании закрепился вариант первый раз.
Слово первый в таких случаях является обращением. Соответственно, фразу нужно оформить так: Первый, первый, я второй!
Правильное написание названия праздника: Новый год.
Вполне допускаем существование текста, в котором речь идет о лидерах и порядке их упоминания, размещения, следования друг за другом. Иными словами, едва ли есть какой резон обсуждать стилистическую характеристику этого словосочетания без контекста.
Немногим позже, чем появилась письменность.