Прилагательное писаный пишется с одной н, причастие – с двумя. Выбор обусловлен наличием зависимых слов. Ср.: писаная икона и писанная маслом икона.
Верно: писаное, писаные.
О правилах постановки скобок в русском письме см. здесь.
Нет, фраза некорректна.
Оба сочетания возможны.
Если речь идет о конкретном заявлении, о верно: Она не писала заявление.
Если говорится о каком-то заявлении вообще, то верно: Она не писала заявления.