Да, такое прилагательное существует, входит в состав современного русского литературного языка. Это разговорное слово, но разговорная речь тоже часть литературного языка.

От существительного лицей образуется только прилагательное лицейский. Слово лицейный нам неизвестно.

Синонимы (не полные): подворье, ресторация, трактир, питейный дом, кабак, харчевня, корчма, шинок.

От существительного лицей образуется прилагательное лицейский. Правильно: учиться по лицейской программе.

Запятые не нужны.

Словарной фиксации пока, разумеется, нет. Но, например, образованное тем же способом слово пиццерия, уже давно существующее в языке, дается в словарях с двумя вариантами ударения: пиццЕрия и пиццерИя, т. е. пока эти варианты конкурируют. Поэтому по аналогии можно говорить о допустимости вариантов сидрЕрия и сидрерИя, а какой из них в итоге останется в языке – покажет время.