Оба варианта верны.
Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
Лучше: принять чью-либо сторону (в споре, конфликте).
Оба предложения составлены правильно.
Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
В этой поговорке не нужны ни тире, ни дефисы.
Учусь. Глагол "петь" можно считать дополнением.