Традиционное написание: "голубой период".
Период, в течение которого услуга не предоставляется - это период непредоставления услуги.
Правильно: Линнеев, но линнеевский.
Корректно: в период руководства Обамы страной.
Правильно: на период наличия вакансии.
Оба варианта возможны.