Традиционное написание: "голубой период".
Правильно: пантон. Так называется компания, которая разработала схему подбора цвета. Позже имя собственное "Пантон" стало нарицательным.
Правильно: Линнеев, но линнеевский.
Период, в течение которого услуга не предоставляется - это период непредоставления услуги.
Корректно: в период руководства Обамы страной.
Правильно: на период наличия вакансии.
Корректно: соус песто.
Оба варианта возможны.