Правильно написание со строчной: палата представителей, палата лордов, палата общин.
Верно: Общественная палата.
Правильно: боевая машина пехоты — 2.
С прописной буквы пишется первое слово в названии и собственные имена.
К сожалению, такой фразеологизм нам неизвестен. В каком контексте он Вам встретился?
Первое слово названия пишется с большой буквы: Торгово-промышленная палата ЯНАО.
Привели к общему знаменателю.