Пединститут пишется через И. Подынститут – правовой термин, например: институт брака и подынститут заключения брака.
Написание этого слова соответствует правилу: сложносокращенные слова пишутся слитно (штрихкод – сокращение от штриховой код). Ср.: пединститут, запчасти, загранпаспорт.
После первых частей сложных и сложносокращенных слов звук ы передается буквой и. Правильно: госидеология, пединститут, спортинвентарь и т. п.
Слово статданные пишется слитно. По нормам русской орфографии пишутся слитно сложносокращенные слова, например: загранпаспорт (от заграничный паспорт), спецвыпуск (от специальный выпуск), пединститут (от педагогический институт) и т. п., аналогично статданные от статистические данные.