См. ответ на вопрос № 281220.
Верно: Руководителя фракции партии «Единая Россия».
Возможны варианты, выбор влияет на смысл фразы.
Есть закономерность. Так называемый партицив (родительный падеж в конструкциях, приведенных Вами) используется для указания "части целого": можно воды (часть, немного, стакан...), рыбы (не всю), икры (сколько-то). Если целое на части не делится, то используется только винительный падеж в конструкции со словом можно.
В этом предложении глагол согласуется не только с подлежащим большинство депутатов, но и со словом членами, поэтому предпочтительна форма множественного числа.
Верен вариант без деепричастия.