Правильно написание со строчной: палата представителей, палата лордов, палата общин.
Верно: Общественная палата.
Название "указательный" палец получил по характерному жесту: вытянутый палец - указание на предметы и лица. Сегодня, конечно, указывать на людей указательным пальцем далеко не всегда прилично и уместно.
Да, склоняется: р. п. - Палия, д. п. - Палию и т. д.
Верно: налилА.
См. также в "Проверке слова".
Слово жительница стилистически нейтрально, его вполне можно использовать.
С прописной буквы пишется первое слово в названии и собственные имена.