В данном случае корректно раздельное написание: Не использованная в связи с этим часть отпуска...

Запятые не нужны, но предложение нуждается в редактировании, например: Предоставить Иванову Ивану Ивановичу отпуск с 10 по 20 января 2026 года. Оплатить Иванову Ивану Ивановичу проезд к месту проведения отпуска — в Московскую область.

1. Тире в предложении Кто эти люди — расскажем в статье корректно.
2. В контексте перечисления групп людей названия этих групп можно оформить в отдельные предложения, как именительный темы: Люди, которых отозвали из отпуска. Неизрасходованные дни отдыха могут дополнить отпуск в грядущем рабочем году либо использоваться в удобное время в текущем году.
3. Определение согласуется с существительным родителей. Пунктуация аналогична п. 2: Один из родителей, воспитывающих несовершеннолетнего ребенка-инвалида. Право на отпуск имеется вплоть до дня наступления совершеннолетия ребенка.
4. Высказывание нужно отредактировать, построив аналогично приведенным в п. 2 и 3: Один из родителей, работающих в районах Крайнего Севера. Право на отпуск имеется для сопровождения ребенка (до 18 лет), поступающего в учебное заведение в другой местности.

Правильно: Работают четыре терапевта (ещё один выйдет из декретного отпуска).

Правильно: фотографии из отпуска.  

Как ни удивительно, нормативными словарями такое прилагательное на зафиксировано, однако в разного рода специальных текстах оно нередко употребляется в качестве термина: ...потребует единовременного полнообъемного и дорогого ремонта в несколько сотен долларов и разборки половины машины [Владимир Салмин. Борьба под капотом. При прохождении техосмотра водителей ждут «приятные» сюрпризы (2002) // «Известия», 18.02.2002]; Это полнообъемная диссертация, в которой собран большой текстологический материал, разобраны все законы библейские, все сопутствующие народные обычаи и все реалии [митрополит Питирим (Нечаев). Русь уходящая (1993-2003)]; Подпись: "Полнообъемные творческие отпуска от двух недель (рассказ-новелла) до одного года (роман, трилогия)" [М. А. Булгаков. Мастер и Маргарита, часть 1 (1929-1940)] и т. п.

Корректно: В связи с производственной необходимостью просьба предоставить служебный автомобиль с водителем на время отпуска основного, закрепленного за руководителем водителя Полываева Виктора Николаевича с 6.08..2024 по 9.08.2024 старшему вице-президенту Лаврентьевой Татьяне Викторовне.

Слова фармация и фармацевтика можно назвать абсолютными синонимами, оба они вполне нормативны. Исторически слово фармация означает аптеку — специализированный склад-магазин для хранения, кустарного изготовления и продажи лекарств, слово фармацевтика — производство лекарственных средств и препаратов в промышленных масштабах. Известно при этом, что специалисты предпочитают использовать в значении "раздел медицины, изучающий вопросы добывания, обработки, изготовления, хранения, отпуска лекарственных средств" именно слово фармация. 

Для запятой нет оснований.

Оба варианта пунктуационного оформления возможны.