Отказывать – отказывая, зазвать – зазвав. См. раздел Деепричастие в учебнике Е. И. Литневской.
Запятая не нужна.
В данном предложении решение об однородности/неоднородности определений натуральный и здоровый действительно может быть принято только самим пишущим.
Нет, в этом выражении имеется нарушение лексической сочетаемости. Корректно: оказывать помощь, осуществлять уход.
Вы написали верно.
Нет, словосочетание осуществлять услуги нельзя признать корректным.
Правильны оба варианта. См. в учебнике Е. И. Литневской, раздел «Глагол. Вид как морфологический признак глагола».