Слово обещание употребляется в сочетаниях с разными существительными — с предлогами и без предлогов. Возможно и обещание об оплате, и обещание оплаты. Словосочетание обещание по оплате допустимо в устной разговорной речи.
Запятая нужна. Однако сама фраза стилистически небезупречна.
Тире (интонационный знак) может быть поставлено по желанию автора текста.
Слова тесание и тёска зафиксированы в словарях и равнозначны.
Вы правы, в глаголе понимать и в производном от него существительном понимание (именно это существительное входит в задание) корень с чередованием. См. соответствующую словарную статью в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря».