Да оба слова пишутся с большой буквы: Лосиный Остров.
Топонимы с родовым словом остров обычно не склоняются: на острове Кипр.
Об одном острове корректно: остров Курильской гряды.
Географические названия: остров Путятина, остров Аскольд.
Топонимы в сочетании со словом остров обычно не склоняются. Поэтому верно: на острове Сахалин. Подробнее см. в "Письмовнике".
Верно: нет остриёв.
Правильно: остров Татышев.
Правильно: Остров свободы.
Справочные пособия рекомендуют согласовывать с родовыми наименованиями названия озер и островов, выраженные полными именами прилагательными. См. «Справочник по правописанию и литературной правке» Д. Э. Розенталя (раздел «Согласование определений и приложений», параграф «Приложения – географические названия») и «Словарь географических названий» А. В. Суперанской (М., 2012).