Да оба слова пишутся с большой буквы: Лосиный Остров.
Географические названия: остров Путятина, остров Аскольд.
Топонимы с родовым словом остров обычно не склоняются: на острове Кипр.
Об одном острове корректно: остров Курильской гряды.
Топонимы в сочетании со словом остров обычно не склоняются. Поэтому верно: на острове Сахалин. Подробнее см. в "Письмовнике".
Правильно: национальный парк «Лосиный Остров». Слово остров пишется с большой буквы, поскольку употребляется не в своем основном значении (это не остров, а лесной массив).
Правильно: остров Татышев.
Правильно: Остров свободы.
Верно: нет остриёв.