Да оба слова пишутся с большой буквы: Лосиный Остров.
Топонимы с родовым словом остров обычно не склоняются: на острове Кипр.
Географические названия: остров Путятина, остров Аскольд.
Об одном острове корректно: остров Курильской гряды.
Топонимы в сочетании со словом остров обычно не склоняются. Поэтому верно: на острове Сахалин. Подробнее см. в "Письмовнике".
Верно: нет остриёв.
Правильно: остров Татышев.
Правильно: Остров свободы.
Правильно: остров Татышев (от имени Татыш).