Фамилия Осмола склоняется. Например: Ирине Александровне Осмоле.
Да, эта фамилия склоняется.
Верно: в городе Старом Осколе.
Верно: в городе Москве; УМВД по г. Старый Оскол.
Запятые не ставятся.
Корректно: Дорога Мужества: Старый Оскол — Ржава.
Названия станций метрополитена заключаются в кавычки. Правильные варианты: м. «Сокол», ст. м. «Сокол».
Верно: осмотр врачом-анестезиологом.
Да, нужно.