Оскома - то же, что и оскомина (вяжущее ощущение во рту от чего-л. кислого или терпкого).
Верно: в городе Старом Осколе.
Верно: в городе Москве; УМВД по г. Старый Оскол.
Правильно: У нас хороший директор – Сокова. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».