Верно: попить чайку.
Пожалуйста, воспользуйтесь окном «Искать на Грамоте».
Верно: Можно я пойду попить воды?
Пить – поглощать жидкость (самостоятельно); поить – давать пить кому-либо (поить больного, поить ребенка). Подробнее см. в словарях.
Возможны оба варианта.