Да, мужская фамилия Король склоняется. Правильно: Королю Евгению.
Если фамилия сопровождается мужским и женским именами, то она сохраняет форму единственного числа: Татьяна и Олег Король.
См. в Письмовнике.
Запятая не нужна.
Верно: конкурентоспособные и экспортно ориентированные предприятия.
См. ответ на вопрос № 256612.
Да, склонение мужской фамилии Король обязательно (женская фамилия не склоняется).
Склоняются мужские фамилии Бутон и Король. Фамилия Прокопенко не склоняется.
Это можно сделать в «Личном кабинете». При возникновении затруднений пишите нам: portal@gramota.ru.