Верно: Мероприятие, посвященное встрече нового, 2016 года и выплате премий.

Подробнее см. здесь.

Возможны оба варианта.

Правильно: позволь всему, что окружает, вдохновлять тебя.

Зарекаться означает "дать зарок не делать чего-либо впредь", поэтому частица не не требуется: Я зарекался судить окружающих.

Запятая ставится: Будучи живыми организмами, деревья улучшают климат, состояние окружающей среды.

Правильнее сказать, что это тавтология. Тавтология (от греч. tauto – то же самое + ...логия) – это употребление в пределах одного или соседних предложений однокоренных или близких по звучанию слов. Плеоназм [от греч. pleonasmós – излишество] – это повтор смыслов, выраженных разнокорневыми словами. Окружающий вокруг – это тавтология, а, например, памятный сувенир – это плеоназм.

Верно слитное написание.

Корректно употребление формы ед. числа: ...и недовольство окружающих.

Сегодня такое явление, как бескорыстная доброта, всё реже и реже встречается в окружающем нас мире.