Верно: работает в округе.
Если речь идет не о действии, а о группе лиц, то верно: командование Южного военного округа.
Название при словах городской округ обычно не склоняется. Верно: в городском округе Подольск, в г. о. Подольск.
Слово федеральный в названиях округов пишется с маленькой буквы: Северо-Западный федеральный округ, Южный федеральный округ и др. С большой буквы федеральный пишется как первое слово официального названия: Федеральная служба безопасности РФ, Федеральное агентство по печати и массовым коммуникациям и т. п.
Правильно: городского округа Реутов.
Предпочтителен первый вариант.
Корректно: в городском округе Люберцы.
В названиях городских округов закреплен именно такой порядок слов – городской округ такой-то. Это связано с необходимостью унифицировать наименования, ср.: городской округ Долгопрудный, городской округ Домодедово, городской округ город Дзержинск, но при этом: Сибирский федеральный округ, Нижегородская область.