Корректно: околеть. В истории языка это слово образовалось от глагола колеть «подыхать», который восходит к существительному кол. Исходное значение — «коченеть, застывать», то есть «становиться твердым, как кол» (ср. в говорах: Надо покойника обмыть, пока не околел).
Винительный падеж. См. также ответ на вопрос № 284354.
Спряжение определяется в данном случае по личному ударному окончанию: глядЯт, велЯт.
См. в «Словаре трудностей».
Глагол - одна из самостоятельных частей речи.